在此，我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的定义。给定圆BC及其所在平面外一点A，则过A且沿圆周移动的一条直线生成一个双锥面。A叫做圆锥的顶点，圆叫圆锥的底，A到圆心的直线叫圆锥的轴，轴未必垂直于底。

设锥的一个截面与底交于直线TF，取底圆的垂直于TF的一条直径BC，直线BC和TF交于G，于是含圆锥轴AS的△ABC叫轴三角形。对椭圆和双曲线，轴三角形的两边AB、AC与截面分别交于E、D（双曲线的场合中D在AC的反向延长线上）。对抛物线，轴三角形的一边AB与截面交于E，另一边AC与截面平行，因此无交点。

在圆锥曲线上取一点L，过L作LM∥TF，交EG于M。在轴三角形所在平面上作AK∥EG，交直线BC于K。再作EH⊥EG。对于椭圆、双曲线，取H满足，而抛物线，则满足。连接DH，过M作，直线DH和直线MN交于X。又过X作XO⊥直线EH于O，那么对于椭圆、双曲线有，对于抛物线有，这是可以证明的两个结论。

在这两个结论中，把ML称为圆锥曲线的一个纵标线，那么其结论表明，以纵标线为边长的正方形面积等于以EM为一边作一个矩形的面积。对于椭圆来讲，EOEH，矩形EOXM超出矩形EHNM；而抛物线，EO=EH，矩形EOXM恰好填满矩形EHNM。故而，椭圆、双曲线、抛物线的原名分别叫“亏曲线”、“超曲线”和“齐曲线”。这就是阿波罗尼引入的圆锥曲线的定义。

阿波罗尼所给出的两个结论，也很容易用现代数学符号来表示。设ML=y，EM=x，ED=a，EH=p（对于给定的图形，a和p是定值），可以证明椭圆满足，双曲线满足，而抛物线满足。

注意：若截面与AC平行，可认为截面与AC交于无穷远点，此时ED=a=∞，因此p/a=0，即抛物线可以看成椭圆或双曲线的极限形式。

在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展。11世纪，阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次代数方程，12世纪起，圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲，但当时对圆锥曲线的研究仍然没有突破。直到16世纪，有两件事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。一是德国天文学家开普勒（Kepler,1571~1630）继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实；二是意大利物理学家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物体斜抛运动的轨道是抛物线。

人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式。于是，对圆锥曲线的处理方法开始有了一些小变动。譬如，1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,1545~1607）椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定义。不过，这对圆锥曲线性质的研究推进并不大，也没有提出更多新的定理或新的证明方法。

17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是经过无穷远点的圆。从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中一个连续地变为另一个，只须考虑焦点的各种移动方式，这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基础。

随着射影几何的创始，原本为画家提供帮助的投射、截影的方法，可能由于它与锥面有着天然的联系，也被用于圆锥曲线的研究。在这方面法国的三位数学家笛沙格（Desargue1591－1661）、帕斯卡（Pascal，1623－1662）和拉伊尔（Phailippe de La Hire，1640～1718）得出了一些关于圆锥曲线的特殊的定理，可谓别开生面。而当法国另外两位数学家笛卡儿和费马创立了解析几何，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼，又不同于投射和截影法，而是朝着解析法的方向发展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的方程，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一。

到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除直角坐标系之外又建立极坐标系，并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线的二次方程也被化为几种标准形式，或者引进曲线的参数方程。1745年欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程出发，圆锥曲线的各种情形，经过适当的坐标变换，总可以化以下标准形式之一：继欧拉之后，三维解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面，诸如圆柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面以及各种抛物面等。

总而言之，圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域，还是在我们的实际生活中都占有重要的地位，人们对它的研究也不断深化，其研究成果又广泛地得到应用。这正好反映了人们认识事物的目的和规律。

在此，要提到的是我国数学教师胡新平在2016年给出的新成果，千百年来，平面解析几何的主要理论一直再无大的进展，即使焦点—准线系统统一性从公元300多年Pappus首次发现至今已1700年了，其存在的明显不足也一直没能得到完善。事实上，人们也一直在寻求以几何方式统一七类二次曲线，而胡新平老师给出了包含一、二次曲线全部八类曲线的几何统一形式，该统一是焦点-准线下统一性的推广，也是仅见到的完备的、几何形式的统一，这使得平面解析几何向前迈出了里程碑的一步。也是我国数学工作者在平面解析几何学科发展史上留下的深深印记。

用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections）。

通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：

1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。

5) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。

6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

7）当平面与二次锥面的两侧都不相交，且过圆锥顶点，结果为一点。

注意，上述曲线类中不含有二次曲线：两平行直线。

在笛卡尔平面上，二元二次方程 的图像称为二次曲线。根据判别式的不同，包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。

（一）传统的焦点-准线统一定义

给定一点P，一直线l以及一常数e>0，则到P的距离与l距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。

根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下：

①e=1（即到P与到l距离相同），轨迹为抛物线；

②0

③e>1，轨迹为双曲线。

该定义只适用于圆锥曲线的主要情形（椭圆、双曲线、抛物线），因而不能算是圆锥曲线的完整定义。但因其形式简明美观，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质，而受青睐并广泛运用。

（二）一、二次曲线的统一定义

（《数学通报》2016.12期《一、二次曲线的轨迹统一及性质》一文中，我国中学数学教师胡新平将焦点--准线进行了推广，从而可以给出以下完整的一、二次曲线的统一定义）

平面上有两条互相垂直且相交于点E的直线l，m，点F是直线m上的一定点，|EF|=p，点N（称为参数点）是直线l上一动点，轨迹动点M同时满足下列两条件：

（Ⅰ）动点N与动点M到定直线m的有向距离Nm与Mm有

Nm=（1+t）Mm，其中t为实常数；

（Ⅱ）动点M到定点F的距离|MF|与到动点N的距离|MN|有

|MF|=e|MN|，其中e为非负常数，

则在直角坐标变换观点下，动点M的轨迹是一、二次曲线

（约定e=1，|t| =1，p=0不同时成立）。

点M的轨迹具体情形如下：

（A）p≠0时：含六类一、二次曲线类。

e≠0时，

（1）当e=1，|t|=1时，轨迹是一条直线（EF的垂直平分线）；

（2）当e=1，|t|≠1时，轨迹是抛物线；

（3）当e<1，e|t|<1， 或e>1,e|t|>1时，轨迹是椭圆．其中|t|=1时是圆；

（4）当e≠1，e|t|=1 时，轨 迹 是 两 条 平 行直线；

（5）当e<1,e|t|>1时，或e>1，e|t|<1时，轨迹是双曲线；

e=0时，轨迹是一点

（B）p=0时：含三类一、二次曲线类。

（1）当e<1,e|t|>1时，或e>1，e|t|<1时，轨迹是两条相交直线；

（2）当e=1，e|t|≠1时，或e≠1，e|t|=1时，轨迹是两条重合直线；

（3）当e<1，e|t|<1，或e>1，e|t|>1时，轨迹是一点．

称其中的定点F和定直线l为对应轨迹曲线的拟焦点和与拟焦点F相应的拟准线。

在射影平面内，两个不同中心的射影线束，其对应直线的交点的轨迹是一条圆锥曲线。两个不同底的射影点列，其对应点的连线的包络是一条圆锥曲线。

所谓的射影线束是指，给定两个中心O、O'，从O和O'各自引出4条直线a、b、c、d和a’、b'、c'、d'。如果这4条直线的交比对应相等，即(ab,cd)=(a'b',c'd')，那么称这两个线束互为射影线束。射影线束的对应直线（上例中的a和a'，b和b'，c和c'，d和d'）的交点一定位于某圆锥曲线上。

同理，所谓的射影点列是指，给定两条底o、o'，在o和o'上各自取4个点A、B、C、D和A'、B'、C'、D'。如果这4个点的交比对应相等，即(AB,CD)=(A'B',C'D')，那么称这两个点列互为射影点列。射影点列的对应点（上例中的A和A'，B和B'，C和C'，D和D'）的连线一定与某圆锥曲线相切。

（以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在焦点——准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。）

考虑焦点——准线观点下的圆锥曲线定义。

定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点。

定义中提到的定直线称为圆锥曲线的准线。

固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与对应准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率。

焦点到对应准线的距离称为焦准距。

焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。

类似圆，圆锥曲线上任意两点之间的连线段称为弦；过焦点的弦称为焦点弦。平行于准线的焦点弦称为通径，物理学中又称为正焦弦。

圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。

对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。

圆锥曲线是轴对称图形，对称轴为过焦点且与准线垂直的直线。在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称，因此椭圆和双曲线有两条对称轴。

Pappus定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。

Pascal定理：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。（对于退化的情形也适用）

Brianchon定理：圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。

由比利时数学家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇淋定理证明了圆锥曲线几何定义与焦点-准线定义的等价性。

即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面π'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面π'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为焦点。又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面π与π'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d为准线。

图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。

证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。设平面π′与π的交角为α，圆锥的母线（如PQ）与平面π的交角为β。设P到平面π 的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的垂线（三垂线定理），而∠PRH=α。因为PE、PF同为圆球之切线，得PE=PF。

如此则有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH

其中：PF/PR=sinα/sinβ为常数。

椭圆、双曲线、抛物线各自的性质可参考相应词条，现给出一般圆锥曲线的性质。

定理一：平面内五个点，其中任意三个不共线，则经过这五个点的圆锥曲线有且只有一条。

定理一‘：平面内五条直线，其中任意三条不共点，则与这五条直线都相切的圆锥曲线有且只有一条。

定理二（帕斯卡定理）：内接于非退化的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线、圆）的六边形的三组对边交点共线。

定理二‘（布里昂雄定理）：外切于非退化的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线、圆）的六边形的三条对角线共点。

定理三（定理二的逆）：如果一六边形的三组对边交点共线，那么这个六边形内接于一圆锥曲线上。

定理三’（定理二‘的逆）：如果一六边形的三条对角线共点，那么这个六边形外切于一圆锥曲线上。

定理四（定理二的极限情况）：圆锥曲线的内接三角形，每个顶点的切线与其对边的交点共线。设△ABC内接于一圆锥曲线，在点A处的切线为a，在点B处的切线为b，在点C处的切线为c。a和BC交于P，b和AC交于Q，c和AB交于R，则PQR三点共线。

定理四’（定理二‘的极限情况）：圆锥曲线的外切三角形，每条边的切点与其对顶点的连线共点。设△ABC外切于一圆锥曲线，BC边上的切点为P，AC边上的切点为Q，AB边上的切点为R。连接AP、BQ、CR，则这三条直线交于同一点。

一、二次曲线的统一方程和性质可以参看《数学通报》2016，12期《一、二次曲线的轨迹统一及性质》一文。

平面直角坐标系内的任意圆锥曲线可用如下方程表示：

其中，α∈[0,2π)，p>0，e≥0。

①e=1时，表示以F(g,h)为焦点，p为焦点到准线距离的抛物线。其中 与极轴夹角α（A为抛物线顶点）。

②01(g,h)为一个焦点，p为焦点到准线距离，e为离心率的椭圆。其中 与极轴夹角α。

③e>1时，表示以F2(g,h)为一个焦点，p为焦点到准线距离，e为离心率的双曲线。其中 与极轴夹角α。

④e=0时，表示点F(g,h)。

五点法求平面内圆锥曲线可以采用该统一方程。代入五组有序实数对，求出对应参数。

注：此方程不适用于圆锥曲线的其他退化形式，如圆等。

附：当e≠0时，F(g,h)对应准线方程：

在平面直角坐标系中，方程 ，表示的曲线称为二次曲线，其中a、b、c不同时为零，它共包括如下九类曲线：

在表中已记

I1,I2,I3与J2分别称为二次曲线的不变量(即经过坐标变换后，这些量是不变的)与条件不变量（或半不变量）。

高考中经常遇到与两条动直线的斜率和、积、商为定值有关的题目。现以焦点在x轴上的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）来分别研究此类题目的一般做法以及背后隐含的道理。

涉及到斜率之和为定值的，一定与调和点列有关，即在该类型的题目下一定能找出一组调和点列（调和线束）。而在圆锥曲线中与调和点列相关的只有极点极线的内容，但由于高考大题不能使用极点极线的方法，所以只通过该方法讲解原理，实际做题中需要用韦达定理或齐次化联立。

（1）两条动直线交点为圆锥曲线上的某个定点

即从圆锥曲线上某一点引出两直线AC、AD，如果CD经过定点B，则kAC+kAD为定值。反之，如果已知kAC+kAD为定值，也能推出CD经过某定点B。

如图，A为圆锥曲线上的定点，A'是A关于x轴的对称点。在过A‘的切线上找一点B，过B作割线CD，连接AC、AD。这就有了两动直线AC、AD，其交点为圆锥曲线上的定点A，且经过定点B。

过B作圆锥曲线的另一条切线BE，切点为E，则A'E是B的极线。

又连接AB，交圆锥曲线于另一点I，连接CI（图中未画出），得到圆锥曲线的内接四边形AICD。设两组对边分别交于B、J（J可以是无穷远点，即AD∥CI），对角线交于K，根据圆锥曲线内接四边形的调和性质可知JK是B的极线，得到JEKA'共线。

与此同时，BK也是J的极线，于是根据极线的定义可知，J、K、E、A'构成调和点列⇒AD、AC、AE、AA'构成调和线束⇒N、M、Q、P构成调和点列⇒⇒⇒。

因为B是定点，BE是切线，所以E也是定点，所以kAE是定值，所以kAC+kAD为定值。

反过来，若已知kAC+kAD为定值，可以令，得到定直线AE。再过E和A'分别作切线，切线相交于B，则由上述推导可知B是CD经过的定点。

这里特别要注意两种情况：

a.对于有心圆锥曲线（椭圆、双曲线），当时，易证E和A'关于中心对称，因此在E和A'处的切线平行。此时认为这两条切线相交于无穷远点B，CD经过该无穷远点意味着无论CD如何变化，其斜率为定值，且等于E、A'处切线的斜率（因为过同一个无穷远点B的有穷直线均互相平行，而互相平行的直线斜率相等）。

而对于无心圆锥曲线（抛物线），当时AE∥x轴，因此AE和x轴交于无穷远点P。由射影几何的理论可知，P是抛物线与无穷远直线的切点，即AE交抛物线于P，过P的切线是无穷远直线。再过A'作切线时，切线和无穷远直线同样交于无穷远点B，所以依然有CD斜率为定值，且等于A'处切线的斜率。

b.当AE恰好是A处的切线时，此时AE与圆锥曲线只有一个交点A。不妨把这种情况视为A和E重合，于是过E(A)的切线和过A'的切线交于x轴上（也就是直线AA‘的极点）。

（2）两条动直线交点为不在圆锥曲线上的某个定点

与上一种情况有别，这种情况下是过不在圆锥曲线上的定点A作一条直线交圆锥曲线于两个点P、Q，B为定点（不在圆锥曲线上），求证kBP+kBQ为某定值。又或者问是否存在某个定点B使得kBP+kBQ为已知定值。

这里取最简单的情况来分析（事实上高考考得最多的也是这类题）。如图，A是x轴上一定点（不在圆锥曲线上），过A作直线PQ交圆锥曲线于P、Q。B是A的极线上的一定点（注意这是前提条件，B必须在A的极线上，否则kBP+kBQ不是定值），求kBP+kBQ。

设PQ交A的极线于R，则根据极线的定义，P、Q、A、R构成调和点列⇒S、T、A、U也是调和点列⇒⇒⇒。

反过来，若已知kBP+kBQ为定值，可以令，得到定直线AB，AB与A的极线交点就是所求的B。

斜率之积为定值的题目则没有太大限制，因为在射影几何中，二次曲线的分类由二次曲线和无穷远直线的位置来决定，即通过平移无穷远直线的方式可以让一条二次曲线变成椭圆（和无穷远直线相离）、抛物线（和无穷远直线相切），或双曲线（和无穷远直线相交）。既然平移的是无穷远直线，二次曲线本身无变化，所以可以只以椭圆来探讨其背后的道理。

圆是特殊的椭圆，即圆通过仿射变换可以变成椭圆，所以先研究圆。

（1）两条动直线交点为圆上的某个定点

如图，AB是圆的一条直径，从圆上的定点A引出两条弦AP、AQ。若PQ过AB上的定点M，则kAPkAQ为定值。反之，若kAPkAQ为定值，则PQ经过定点M。

利用三角形面积公式，

。

当AB为x轴时，tanαtanβ恰好就是kAPkAQ。所以当M为定点时，左边比值为定值，所以右边kAPkAQ为定值。反过来，当kAPkAQ为定值时，左边的比值也是定值，于是由定比分点坐标公式可知M为定点。

（2）两条动直线交点为不在圆上的某个定点

与上一种情况有别，这种情况下是过不在圆上的定点M作一条直线交圆锥曲线于两个点P、Q，N为定点（不在圆锥曲线上）。连接PN、QN交圆于S、T，则直线ST过定点。

乍一看似乎与斜率之积无关，其实不然。证明这个结论需要用到第一种情况。

如图，AB是圆的直径，M、N在AB上，各个交点已经在图中标注好。

为了证明ST过定点（设为K），则只需要证明为定值。

而

根据第一种情况的结论，直线PS、QT过定点N，而PQ过定点M⇒分子分母都为定值⇒ST过定点K。

反过来是不成立的，即无法从PQ过定点M，ST过定点K推出PS、QT交于定点N。这是因为虽然上式中分母和分数值是定值，所以分子也是定值。然而分子是两个数之积，每个因数都可以发生变化，只要相乘不变即可，所以PS和QT都不一定经过定点。

注意：上面的定点M和N都可以不在圆内，可以在直线AB上的任意一个位置（除A、B外），证明相仿，结论相同。

另外，当圆拉伸为椭圆，例如把圆的纵坐标变为原来的t（t≠0）倍时，由于单比是仿射变换不变量，所以（1）中BM/AM不变。而kAP'=tkAP，kAQ‘=tkAQ，所以有不变。

根据椭圆的第三定义，为定值。而如果M是定点，则kAPkAQ为定值，所以得到kBPkAQ为定值。反之如果kBPkAQ为定值，那也有PQ过定点M。

这是斜率之积为定值情况（2）的重要推论，即在图中有为定值。

证明十分简单，设直线PQ与ST交于点R，过R作RH⊥AB，垂足为H。

根据圆锥曲线内接四边形的性质可知R在N的极线l上。且因为N在AB上，有l⊥AB，所以RH恰好就是N的极线。因为无论R如何变化，垂足H都是不变的。而kPQ=HR/MH，kST=HR/KH，所以有。

K、M、H均为定点，所以比值为定值。

CGY-EH定理（又称圆锥曲线硬解定理）是一套求解椭圆\u53cc曲线与直线相交时∆、 x1+x2 、x1* x2、y1+y2、y1*y2 及相交弦长的简便算法.

若曲线 与直线Aχ+By+C=0相交于E、F两点,则:

其中 ; △‘为一与△同号的值， 。

应用该定理于椭圆 时,应将 代入。

应用于双曲线 时,应将 代入,同时 不应为零,即ε不为零。

求解y1+y2与 y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与∆'的值不会因此而改变。

联立曲线方程与y=kx+ 是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。

若曲线 与直线y=kx+ 相交于E、F两点,则:

这里的 既可以是常数，也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出：

若曲线 为椭圆 ,则

若曲线 为双曲线 ,则

由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需要考生自己填写）：

联立两方程得……（二次式子）（*）

所以x1+x2=……①，x1x2=……②；

所以|x1-x2|=√（x1+x2）^2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）

化简得|x1-x2|= (偷偷地直接套公式，不必真化简)

下面就可求弦长 了。

设曲线x^2/m+y^2/n=1①与直线 Aχ+By+C=0②相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次方程：

(A^2 m+B^2 n) x^2+2ACmx+C^2 m-mnB^2=0

应用韦达定理，可得:

x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2 m+B^2 n)

x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/(A^2 m+B^2 n)

∆=4mnB^2 (ε-C^2)

对于等价的一元二次方程∆的数值不唯一,且 ∆的意义仅在于其与零的关系,故由4B^2>0恒成立,则可取与∆同号的∆'=mn(ε-C^2)作为∆的值。

由|EF|=√(〖(x_1-x_2)〗^2+〖(y_1-y_2)〗^2 )=√((1+A^2/B^2 )[〖(x_1+x_2)〗^2-4x_1 x_2 ] )

可得|EF|=√((A^2+B^2)4mn(A^2 m+B^2 n-C^2))/(|A^2 m+B^2 n|)

令ε=A^2 m+B^2 n 则得到CGY-EH定理:

x_1+x_2=(-2ACm)/ε ; x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/ε ; ∆'=mn(ε-C^2) ; |EF|=(2√((A^2+B^2)∆'))/(|ε|)

圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。

我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。

由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔（如冷却塔）时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固。

由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。

从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。

从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。

从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。

一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。

如图所示为圆锥曲线中椭圆的应用——回声山谷。在西方某些椭圆穹顶的大教堂里也有这种现象。

圆锥截面在天文学中是重要的：根据牛顿万有引力定律相互作用的两个巨大物体的轨道是圆锥截面，如果它们的共同质心被认为是静止的。如果它们绑定在一起，它们将跟踪椭圆;如果他们分开，他们将会跟随抛物线或双曲线。看到两体问题。

对于古生物学中的某些化石，了解圆锥截面可以帮助了解某些生物体的三维形状。

圆锥截面的反射特性用于探照灯，射电望远镜和一些光学望远镜的设计。使用抛物面镜作为反射器，在探照灯下使用焦点上的灯泡。在加那利群岛拉帕尔马的4.2米赫歇尔光学望远镜使用主要的抛物面镜将光反射到次级双曲面镜，这反映了它再次成为第一镜后面的焦点。