（ZF1）外延公理：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。

（ZF2）空集合存在公理：即存在一集合s，它没有元素。

（ZF3）无序对公理：也就是说，任给两个集合x、y，存在第三个集合z，而w∈z当且仅当w=x或者w=y。

注：z = {x, y}, 就是说，如 w∈z, 则 w=x 或 w=y。又名配对公理，取义可由二个集合生成第三个集

合，集合无次序（或说生成的第三个集合无次序），所以叫无序（配）对公理，就一个，如果有次序

就变二个了。

（ZF4）并集公理：也就是说，任给一集合x，我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。

准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使w∈y当且仅当存在z使z∈x且w∈z”。

（ZF5）幂集公理：也就是说，任意的集合x，P（x）也是一集合。

准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使z∈y当且仅当对z的所有元素w，w∈x”。

（ZF6）无穷公理：也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。

准确的定义：“存在一个集合，使得空集是其元素，且对其任意元素x，x∪{x}也是其元素。”

根据皮亚诺公理系统对自然数的描述，此即：存在一个包含所有自然数的集合。

（ZF7）替换公理模式：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合t，当x属于t时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。

（ZF8）正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。

准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。”

注：（ZF3）可以由其他公理导出，所以有些场合不出现这条公理，与之类似的是“子集公理”。

(AC)选择公理：对任意集c存在以c为定义域的选择函数g，使得对c的每个非空元集x，g（x）∈x。

ZF集合公理系统加上AC就成为ZFC公理系统。

注：ZF为Zermelo及Fraenkel

如果一集合x的元素的元素也都还是x的元素，则称x为传递集。一个集合x是自然数：如果x是传递集，x的全体元素在∈下良序，而且x的每一非空子集对序∈而言有最大元。这样可以把自然数变成了在ZF内可以定义的一种性质，如把0定义作空集═，1定义作0∪{0},2定义作1∪{1}……等等，则0,1,2，…，都是自然数，而且只有这些是自然数。

“x是序数”是指如果集合x是传递集，而且x在∈下良序。令On表示全体序数所成的集合，α，β∈On,α<α∈β。这样，就用∈定义了序数间的< 关系，每一序数都是由比它自身小的序数所组成的集合。

每一自然数都是序数，全体自然数{0,1,2，…}也是序数。对任一集合x，令s(x)=x∪{x}。则当x是序数时，s（x）亦为序数。一序数α称作后继序数：如果有一序数β，使α=s（β）。不是后继序数的序数称为极限序数，例如0,ω均为

On虽为一真类，但；具有性质：On的任一非空子类都有最小元。因此，要想证明每一序数都具有性质φ，即可应用超限归纳原理：对于任给的一序数β，若每一比β小的序数α都具有性质φ则β亦具有性质φ，那么对所有的序数都具有性质φ。

在定义序数运算（加、乘、幂）时，需要用超限递归定理：若G是一运算，则有一运算F，使得对每一序数α，都有F(α)=G（α）。而这一定理的证明要用到替换公理。有了替换公理还可以得到极限序数ω+ω的存在性。如果先将正整数从小排到大，再把非正整数从大排到小而成一序列：1,2,3，…，0，-1,-2，…。从而全体整数就良序了，其序型即为ω+ω。

事实上，任一良序集〈ω，<；〉，都有惟一的序数α使得〈w，<；〉序同构于〈α，∈〉。因此，就可以把良序集按序同构来分类，并将同属于一类的称为具有同一序型的良序集。而序数就可定义作为同构的良序集的代表。依此，可以定义序数的运算。例如，序数的加法可以定义如下：若α,β为序数，γ为极限序数

β+0=β,β+s(α)=s(β+α),β+γ(β+α），即用关于α的超限归纳原理来定义β+α。同样地可以定义序数的积β.α和幂βα，以及相应的运算性质，如结合律等。　可以证明：替换公理是独立于其他公理的。

正则公理与其他公理不同，它不是断言某些集合的存在，而是限制一些集合的存在。提出它是为了研究ZF的模型。在ZF中可定义的数学对象都不以自身为元素；也未发现有集合x,y，具有x∈y并且y∈x的性质或者集合序列x1,x2，…，满足：。1917年 D.米里马诺夫首先提出良基集的概念。1922年弗伦克尔在策梅洛原来的公理系统补充了一条公理名曰限制公理，顾名思义，它是给出某种限制，以排除那些非良基集。1925年J.冯·诺伊曼，称它为正则公理。1930年策梅洛也独立地引入了这条公理，并称它为基础公理。从而完成了ZF。

冯·诺伊曼给出了一个分层其中V0=═（α为任一序数，F(Vα）表Vα的幂集。这样，正则公理肯定了每一集合必在某一Vα中。若再引进γ，称为x的秩。从而，即可依秩来作超限归纳。

在AC成立的条件下，每一群都同构于一个在π中的群：每一拓扑空间都同构于一个在Π中的拓扑空间，等等。而在数学讨论中常常是把同构的对象视作同一的；故正则公理并不给讨论带来局限。

基数概念至为重要。两个集x、y称作是等势若在x与y之间能建立一个一一对应。如果集合x与y等势，则记作x～y。由于AC任一集合x都可以良序化，故有序数α，使得α～x，把这种α中最小的那个序数定义作为集合x的基数，并记作│x│。这样定义的基数│x│仍然是一个集合；而每一集合x都有一个│x│作为x的数量大小的一个刻画；并且如果x～y，则│x│=│y│。

这样定义的基数是序数的一部分：即是不能与小于自己的序数等势的那些序数，也就是所谓初始序数。例如0，1，2，…，ω等都是初始序数，因而都是基数。而ω+1，ω+2，…，ω+ω等都不是初始序数，故都不是基数。所以紧接着基数0,1,2，…，ω的基数是ω1，它也记作堗1。

如果AC不成立，则可利用正则公理来定义任一集合x的基数，记作悯。悯为一集合：。　上述定义系D.S.斯科特于1955年给出的。

在60年代末期A.莱维还证明了在AC与正则公理都不成立的情况下，基数概念是不可定义的。

由哥德尔不完备性定理可知：如果ZF是协调的，则在ZF中不能证明自身的协调性。所以，在公理集合论中只考虑相对协调性问题。如：解决这类问题的常用方法就是构造模型。在公理集合论中构造模型的方法不外三点：内模型法，外模型法（即力迫方法），对称模型法。

内模型法是从已知的一个模型M 出发，来定义M 的一个子模型M s；使得M s满足ZF的一些公理或者ZF以外的一些公理。公理集合论的一个著名成果就是1938年K.哥德尔所给出的

ConZF→Con(ZF+CH）的证明，证明中用的就是内模型法，但是当时尚未如此命名。

迄至1951年J.C.谢泼德森已经把内模型法研究得很完善，并已知道要用此法去证明是不可能的。

外模型法（即力迫法）是P.J.科恩1963年所创，科恩据此而证明了CH的相对于ZF的独立性。

排列模型的想法始于弗伦克尔，当时他是用来证及一些弱选择公理的相对协调性，适用于有原子（本元）的集合论。迭经A.莫斯托夫斯基、斯派克等人的改进而形成FMS方法，其与外模型法相结合即可构成对称模型法。

在公理集合论的研究中，大量的工作是关于集合论模型的，此外，还继续此前朴素集合论对无穷组合问题的研究即组合集合论的研究。其中的一些问题是来源于柯尼希树引理和 F. P.拉姆齐定理的推广。另一分支则为描述集合论（亦称解析集合论），主要是研究划分层次以后的实数子集的结构性质问题。因而，这一部分与分析、实数理论和递归论的关系较为密切。

即使限于上述两个分支的研究，也有许多问题要用到ZF（或ZFC）以外的附加假设才能判定。这里，常用的附加假设有：可构成公理；各种大基数公理，以及与AC不协调的决定性公理等。

哥德尔在1938年提出了可构成公理，并在60年代末和70年代得到重视和发展。至于大基数的研究由来已久，但其作为附加公理亦是在60年代以后。几乎每一种大基数都是ω的某种性质向不可数基数的推广。可构成性、大基数和力迫法已成为公理化集合论的三大主流，同时它们又是三种研究工具。随着无穷博弈的诞生和博弈论在数学各分支的渗透，以及博弈论与逻辑的关系日益密切，决定性公理也愈受到重视。

选择公理是现代数学中最常用的假设，过去许多人曾不自觉地使用。对这个问题引起注意，是因为康托尔在1883年提出任意集合是否都可良序化的问题。希尔伯特也曾把这个问题引入其23问题头一问题的后半部分。1904年，策梅罗提出选择公理，并通过选择公理证明了良序定理。这个公理有极多的等价形式，其中有在代数中常用的造恩引理。这个应用极广、看来正确的选择公理，却可以证明出一些看来荒唐的结果。如1914年的豪斯道夫的分球面定理和U23年的巴拿赫—塔尔斯基悖论。

可是选择公理的用途太大，不能忽视，许多学科的基本定理少不了它：泛函分析中的哈恩—巴拿赫定理（关于巴拿赫空间上的线性泛函的可扩张性）；拓扑学的吉洪诺夫定理（关于任意多紧空间的直积为紧）；布尔代数的斯通表示定理，每个布尔代数皆同构于集代数；自由群论的尼尔森定理，自由群的子群也是自由的。

其他还有许多定理，如果没有选择公理也不行。

连续统假设的历史最久，它可以说是随着集合论一起产生的。1883年康托尔就提出了这个假设，可数无穷集的基数的后面就是连续统的基。康托尔花了毕生精力去证明，但没有成功。希尔伯特把它列入自己著名的23个问题的头一个。希尔伯特本人也曾经用了许多精力证明它，并且在192～—1926年宣布过证明的大纲，但终究未能成功。这个问题终究悬而未决。

1930年哥德尔完成了他的两大贡献以后，曾说过“现在该轮到集合论了”。他从1935年起就开始研究连续统假设及广义连续统假设。这一次他又出人意料地证明了ZF和GCH是协调一致的，不过当然要假设ZF本身也是协调的，虽然这一点一直没有得到证明。

哥德尔应用可构造性公理证明ZFC和ZFC+GCH的相对无矛盾性，他用可构造集的类L作为ZFC的模型。1963年7月，美国年轻数学家科恩发明了影响极为重大的力迫法，并证明连续统假设的否定命题成立，这样一来CH在ZF中既不能证明也不能否定。

哥德尔证明选择公理和连续统假设协调性的方法是定义一种类型的集合，叫做可构成集。假如把集合论中集合的概念完全用可构成集合的概念来理解，那么集合论中的一些概念就会有相应的改变。但是有一些概念不会改变，这种概念我们称为绝对的，特别是可构成性这个概念是绝对的。所以“一切集合是可构成的”，这称为可构成性公理。

可构成性的概念非常重要，表现在：

1、可构成性公理与ZF的其他公理是协调的；

2、可构成性公理蕴涵连续统假设和选择公理；

3、如果可测基数存在，则不可构成集合存在，这是斯科特1961年证明的。随后，罗巴通在他1964年的博土论文中证明可测基数的存在，蕴涵整数不可构成集合的存在性，后来他又证明可测基数的存在蕴涵只有可数无穷多个整数的可构成集合。

马丁公理是1970年由马丁等人提出来的，它与ZFC的其他公理完全不同，不像一个“真”的公理，但是由它可以推出数学上重要的结果。马丁公理是连续统假设的推论，因此可以看成是弱连续统假设。

马丁公理在数学上有一系列的重要应用。特别重要的是，舍拉在1974年证明怀特海猜想在ZFC下是不可判定的。同样，许多拓扑学问题也有类似情况。

连续统假设及广义连续统假设反映了最理想的大基数产生的方法，也就是一个接一个由幂集的基数产生出来。但是，这种理想的情况无法证明，而与它不同或矛盾的情形也不可能得到否定。因此，这种种特殊大基数的存在性能得到更加特殊的结果，而且对数学本身产生了不可忽视的影响。

虽然这些大基数极为玄乎，可是由它们可以推出许多重要的数学结果。因此我们不得不重视它，而它们的存在性作为公理就是大基数公理。可以料到这些大基数公理同原来的一些公理是矛盾的。比如，可构造公理就蕴涵可测基数不存在。

大基数公理对数学问题的重要性可以由下面问题的解决看出：拓扑学中一个著名的几十年末解决的正规莫尔空间猜想归结为可测基数的存在问题，而象过去局限于ZFC系统的证明是没有希望的。

决定性公理是与描述集合论密切相关的公理，它涉及到自然数列的集合是否能够通过某种方法决定。决定性公里的基本问题是：什么集合是可决定的？经过许多人的努力，马丁在1975年证明，数学中最常用的保莱尔集合是可决定的。下一个猜想是证明所有解析集合（即二维保莱尔集合的射影集合）是可决定的，但这个猜想与哥德尔的可构成性公理相矛盾。上面讲过，可构成性公理是与ZFC是相容的，因此这个猜想无法在集合论中证明。这样一来，它本身可以成为一个新公理。

比这个公理更加激进的公理是：R的所有子集合都是决定的。这个公理太过激烈了，以致很难为“真”，因为它首先同选择公理有矛盾。不过，由这个决定性公理却能推出一系列有趣的数学事实；其中最突出的是，由它可推出所有实数集合都是勒贝格可测的。这样一来，许多数学成为没有意思的了。因此，数学家还是不太想要这个太强的公理。可是，它带来的一系列问题仍有待解决。